Historia wymaga pasterzy, nie rzeźników.

Druga metoda pozwala na uwzględnienie przegubu już na początku obliczeń przez wykonanie tak zwanej redukcji statycznej.
6.3. Redukcja statyczna W przypadku prętów z przegubem znamy wartość jednej z reakcji  R  e . W miejscu przegubu wartość i
momentu Mik lub Mki (w zależności czy przegub jest na lewym czy prawym końcu pręta) wynosi zero (rys. 6.3).
φ ≠ 0
φ ≠ 0
i
k
M = 0
M = 0
ik
ki
e
e
i
k
i
k
Rys. 6.3. Pręty z przegubem: na lewym i prawym końcu
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater Część 2
6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
6 czyli odpowiednio:  R  e= 0 lub  R  e= 0
3
6
Należy jednak pamiętać, że zerowa reakcja nie oznacza zerowego przemieszczenia po danym kierunku:
dla
 R  e= 0

 e≠ 0
3
 q3
dla

R  e= 0

 e≠ 0
6
 q6
Możemy dokonać redukcji macierzy sztywności elementu. Dla pręta z przegubem z lewej strony
  R  e= 0 przyrównujemy do zera trzeci wiersz z układu (6.3)
3
6 EJ l  q e 4 EJ l2  e− 6 EJ l  e 2 EJ l2  e= 0
2
 q3
 q5
 q6
Z tego warunku wynika wartość kąta obrotu w przegubie
1
 q e=−
 3  e− 3  e l  e
3
 q
 q
 q
2 l
2
5
6
Po podstawieniu powyższego wyrażenia do równań równowagi (6.1) porządkujemy zapis i otrzymujemy nowe
związki. Przykładowo drugie równanie będzie miało postać:

1
1
R e= [ 12EJ  e 6 EJ l⋅ − 3  e 3  e− l  e− 12EJ  e 6 EJ l  e]
2
 q
 q
 q
 q
 q
 q
l3
2
2 l
2
5
6
5
6

1
R e= [ 3 EJ  e− 3 EJ  e 3 EJ l  e]
2
 q
 q
 q
l3
2
5
6
Zapisując wszystkie związki w formie macierzowej w trzeciej kolumnie otrzymamy same zera (żadna z wielkości nie zależy od  q e ). Macierz sztywności musi być symetryczna wobec tego w trzecim wierszu także 3
zapisujemy zera. Inaczej mówiąc trzeci warunek nie wnosi nam nic do zadania i można go pominąć.
[ 
1
K e]= [ EAl2 0 0 − EAl2 0 0
0
3 EJ
0
0
− 3 EJ
3 EJl
0
0
0
0
0
0
]
(6.10)
l3 − EAl 2
0
0
EAl 2
0
0
0
− 3 EJ 0
0
3 EJ
− 3 EJl
0
3 EJl
0
0
− 3 EJl
3 EJl 2
Postępując podobnie w przypadku pręta z przegubem z prawej strony uzyskamy macierz:
[ 
1
K e]= [ EAl2 0 0 − EAl2 0 0
0
3 EJ
3 EJl
0
− 3 EJ 0
0
3 EJl
3 EJl 2
0
− 3 EJl 0]
(6.11)
l3 − EAl 2
0
0
EAl 2
0
0
0
− 3 EJ − 3 EJl
0
3 EJ
0
0
0
0
0
0
0
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater Część 2
6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
7 6.4. Wektor sił przywęzłowych
Na wektor sił przywęzłowych od obciążenia przęsłowego składają się reakcje powstałe w podporach
(utwierdzeniach lub przegubach) pojedynczego pręta od sił zewnętrznych działających na jego długości. Są one zgodne z założonymi kierunkami przemieszczeń w lokalnym układzie współrzędnych (rys. 6.2) i odpowiednio ponumerowane. Mogą być wywołane obciążeniem zewnętrznym, temperaturą lub osiadaniem
podpór.
x
Re
06
x
y
Re
03
Re
04
e
Re
05
e
Re
R
02
01
y
Rys. 6.4. Lokalne kierunki reakcji od obciążeń przęsłowych
Tak ponumerowane reakcje możemy zapisać w postaci wektora sił przywęzłowych:
 e
 R e
02
[
 e


R  e]= R03
0
[ R01 ] R e 04  R e 05  R e 06
Jeżeli na pręt nie działa obciążenie przęsłowe, temperatura, ani osiadania, to wektor obciążeń jest wektorem zerowym.
[  R e]=[ 0]
0
6.4.1. Działanie sił zewnętrznych
Jeżeli obciążeniem pręta są wyłącznie siły skupione lub ciągłe, to wektor sił przywęzłowych będzie
składał się z reakcji pochodzących od tych obciążeń. Jeżeli na pręt działa więcej niż jedno obciążenie, wtedy możemy zastosować zasadę superpozycji a wektor sił będzie się składał z sum odpowiednich reakcji od poszczególnych obciążeń.
W przypadku pręta obustronnie utwierdzonego lub z przegubem z jednej strony wyznaczenie tych reakcji wymagałoby rozwiązania układu statycznie niewyznaczalnego, dlatego też wartości tych reakcji najczęściej odczytujemy z tablic (tabela 1.2). Przypomnijmy niektóre z nich zwracając uwagę na zwroty reakcji.
Dobra D., Dziakiewicz Ł., Jambrożek S., Komosa M., Mikołajczak E., Przybylska P., Sysak A., Wdowska A.
AlmaMater Część 2
6. KOMPUTEROWA WERSJA METODY PRZEMIESZCZEŃ
8 Tabela 6.1. Wartości reakcji  R e od obciążeń przęsłowych
0
Schemat belki
Wartości reakcji
Wektor sił przywęzłowych
Pb2  l 2 a
x
P
Pa2b
x
l3
Pab2
l2
Pab2
−
b
l2
Pa2 l2b
 e
l2
a
[  R ]=
0
[ 0 − ] 0
Pb2 l2a
l3
l
Pa2
−
 l 2 b
y
l3
l3
y
Pa2 b
l2
ql
q
x
ql2
x
ql2
2
12
12
ql2
−
ql
[  R  e]= 12
0
[ 0 −]
ql
2
0
l
2
ql
−

2
y
y
ql2
12
x
x

Podstrony