Błąd I rodzaju nosi nazwę poziomu istotności i określa prawdopodobieństwo .: odrzucenia Ho wówczas, gdy jest ona prawdziwa. Poziom istotności (a) ustalamy
sami. Z kle rz mu e si e o wielkość ako a=0 O5. Może to b ć ednak ~` ~'Y P YJ J ęJ g J ~ Y J
każda inna wartość prawdopodobieństwa. Przyjęcie a = 0,05 - podobnie jak przy estymacji - oznacza, że jeśli będziemy 100 razy porównywać próby z dwu identycznych populacji, to w 5 porównaniach otrzymamy przypadkowo różnice tak duże, że odrzucimy hipotezę zerową.
Błąd II rodzaju oznacza przyjęcie hipotezy zerowej wówczas, gdy prawdziwa jest hipoteza alternatywna. Prawdopodobieństwo popełnienia błędu II rodzaju jest nieokreślone. Dlatego brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej nie upoważnia do jej przyjęcia. 3eśli w wyniku badania próby stwierdzamy, że
363
średnie ciśnienie tętnicze u rolników i marynarzy nie różni się, to nie można na tej podstawie wnioskować, że w całej populacji tych różnic również nie ma. Gdyby badanie wykazało, że ciśnienie u marynarzy jest niższe, to mamy podstawy do twierdzenia, że wniosek taki dotyczy całej populacji (pamiętać jednak należy o poziomie istotności, czyli możliwości popełnienia błędu I rodzaju).
Testy dła dwóch średnich
Test t dla dwóch średnich z malej próby
Test ten, zwany także testem t-Studenta dla dwóch średnich nie połączonych, stosuje się, gdy na podstawie badania dwóch grup chcemy stwierdzić, czy średnie z nich obliczone reprezentują różne wartości w populacjach generalnych. Testu używamy, jeśli można założyć, że badanie cechy mają rozkład normalny, a wariancje są równe, choć nieznane. Do obliczenia wartości testu należy znać liczebności, średnie arytmetyczne oraz odchylenia standardowe obu grup. Wartość testu obliczamy ze wzoru:
t - xi x2
e ni . si + nz 25ź C 1 1 1
~+ J~
gdzie: n,, nz - liczebności grup
X,, Xz - średnie arytmetyczne s;, sŹ - wariancje.
Otrzymaną bezwzględną wartość t porównujemy z wartością krytyczną tź dla wybranego poziomu istotności oraz liczby stopni swobody v = v, + vz - 2. Hipotezę o równości średnich odrzucamy, jeśli ~ t ~ > tź. Można wówczas twierdzić, że w populacji generalnej średnie będą się różnić podobnie jak w próbach.
Test wymaga wstępnego zweryfikowania hipotezy o równości wariancji w obu populacjach, a sposób jej przeprowadzenia podano w opisie testu dla dwóch wariancji. Jeśli okaże się, że wariancje różnią się istotnie, to do oceny różnicy można zastosować opisany dalej przybliżony test C Cochrana i Coxa.
Test dla dwóch wariancji
Dla sprawdzenia hipotezy o równości wariancji obliczamy najpierw tzw. nie obciążony estymator wariancji, który oznaczymy symbolem śz. Obciążenia pozbywamy się za pomocą wzoru:
n ś=sz .
n-1'
gdzie sz jest wariancją obliczaną w podany poprzednio sposób z próbki liczącej n elementów. Estymator ma liczbę stopni swobody v = n -1. Następnie obliczamy współczynnik Fo:
śW Fo = ~
Sm
364
gdzie śW jest estymatorem, mającym większą wartość. __ - mniejszą. Mają one odpowiednią liczbę stopni swobody v,~. i nm. Ze spo·obu ~~bliezania wynika, że wartość Fo nie może być mniejsza od jedno~i. Jeśli prz~założonym poziomie istotności a obliczona wartość F_ jeat wi~ksza od wartości krytycznej Fk, odczytanej z tablic rozkładu F-Snedecora. to stwierdzamy, że wariancje różnią się istotnie. Załączone na końcu rozdziału tablice podają wartości Fk tylko dla a=0,05, co na ogół wystarcza. Sposób przeprowadzenia obliczeń podano w załączonych niżej przykładach. Przyklad. Należało stwierdzić, czy istnieje różnica w czasach reakcji na
bodziec świetlny i akustyczny. Badanie czasu reakcji na bodziec świetlny w grupie n, = 8 osób dało wyniki X, =187 ms (milisekund), s; = 818 ms. W badaniach reakcji na bodziec akustyczny w grupie nz = 6 osób dało Xz=227 ms, s?=656 ms. Sprawdzamy czy wariancje różnią się istotnie. Obliczamy ich nie obciążone estymatory oraz współczynnik Fo:
ś;=8188-1=935 v1=8-1=7; ~=6566-1=787 v2=6-1=S;
935 Fo=-=1,188. 787
Wariancja większa ma liczbę stopni swobody vW=vt=7, mniejsza vm = vz = 5. W tablicy rozkładu F-Snedecora (dla a = 0,05) na skrzyżowaniu wiersza vW=7 i kolumny vm=5 znajdujemy, że Fk=4,88. Ponieważ Fo
187-227 t = -2,506.
8818+6656 1 1 8+6-2 C8+6~
Ponieważ wartość bezwzględna t jest większa od ta, stwierdzamy, że średnie
różnią się istotnie-możemy spodziewać się że przy szeroko przeprowadzonych ! badaniach również otrzymamy mniejsze wartości dla czasu reakcji na bodziec
świetlny. Ryzyko, że wniosek jest błędny, wynosi 0,05 - jest więc niewielkie. Mimo wszystko o możliwości tej pomyłki należy pamiętać.
Przybliżony test C Cochrana i Coxa
Test C stosujemy, gdy stwierdzamy, że wariancje różnią się istotnie. Ob- ~~'~"j`' liczamy wartość Co wg wzoru:
X1 X2
Co= ~+~~
~6·
gdzie: Zl = ~ ; ZZ = ~; (nl i n2 - liczebności próby, ~ i ~ - wariancje nie obciążone).
Nie obciążone esLymatory wariancji (ś; i śŹ) mają liczby stopni swobody v, =n, -1 oraz vz=nz-1. Wartość Co porównujemy z wartością krytyczną Ck
wyliczoną ze wzoru:
C -Zl~ti+ZZy k Zl + Zz
We wzorze tym t, i tz oznaczają wartości krytyczne z rozkładu t-Studenta dla wybranego poziomu istotności oraz liczby stopni swobody v, dla t, i vz dla tz. Stwierdzamy, że średnie różnią się istotnie, jeśli obliczona bezwzględna wartość C° jest większa niż Ck.
Przyklad. Badano wpływ środowiska pracy na częstość tętna. Przebadano losowo wybranych n, = 30 pracowników zatrudnionych w zakładzie A. Obliczenia wykazały średnią częstość tętna i wariancję: X, =67, s; =11. Podobne badania w zakładzie B wykonane u nz =10 pracowników dały: Xz = 72, s? = 25.
Sprawdzamy istotność różnic wariancji:
s'~,=11~3ó01=11,38 v1=30-1=29; ~=25~1~01=27,78 v2=10-1=9;
_ 27,78 - 2,44. F° 11,38
Wartość krytyczna Fk dla vw.=vz=9 (wariancja większa) i vm=v,=29 (wariancja mniejsza) wynosi 2,22 (dla poziomu istotności a=0,05). Obliczona wartość Fo jest większa od wartości krytycznej, nie możemy zatem stosować testu t, dokonamy więc oceny testem C.
Obliczamy wartości Z~ oraz Zz, a następnie C°:
Zl=138=0,379 Zz=2108 2,778 C° _ 67 - 72 __ - 5 _ 2,814.
0,379+2,778 3,157
Obliczamy następnie wartość krytyczną Ck. Dla poziomu istotności a=0,05 i 29 stopni swobody mamy t, = 2,045, dla 9 stopni swobody tz = 2,262. Tak więc:
_ 0,379 ~ 2,045+2,778 ~ 2,262 _ 7,059 _