B��d I rodzaju nosi nazw� poziomu istotno�ci i okre�la prawdopodobie�stwo .: odrzucenia Ho w�wczas, gdy jest ona prawdziwa. Poziom istotno�ci (a) ustalamy
sami. Z kle rz mu e si e o wielko�� ako a=0 O5. Mo�e to b � ednak ~` ~'Y P YJ J �J g J ~ Y J
ka�da inna warto�� prawdopodobie�stwa. Przyj�cie a = 0,05 - podobnie jak przy estymacji - oznacza, �e je�li b�dziemy 100 razy por�wnywa� pr�by z dwu identycznych populacji, to w 5 por�wnaniach otrzymamy przypadkowo r�nice tak du�e, �e odrzucimy hipotez� zerow�.
B��d II rodzaju oznacza przyj�cie hipotezy zerowej w�wczas, gdy prawdziwa jest hipoteza alternatywna. Prawdopodobie�stwo pope�nienia b��du II rodzaju jest nieokre�lone. Dlatego brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej nie upowa�nia do jej przyj�cia. 3e�li w wyniku badania pr�by stwierdzamy, �e
363
�rednie ci�nienie t�tnicze u rolnik�w i marynarzy nie r�ni si�, to nie mo�na na tej podstawie wnioskowa�, �e w ca�ej populacji tych r�nic r�wnie� nie ma. Gdyby badanie wykaza�o, �e ci�nienie u marynarzy jest ni�sze, to mamy podstawy do twierdzenia, �e wniosek taki dotyczy ca�ej populacji (pami�ta� jednak nale�y o poziomie istotno�ci, czyli mo�liwo�ci pope�nienia b��du I rodzaju).
Testy d�a dw�ch �rednich
Test t dla dw�ch �rednich z malej pr�by
Test ten, zwany tak�e testem t-Studenta dla dw�ch �rednich nie po��czonych, stosuje si�, gdy na podstawie badania dw�ch grup chcemy stwierdzi�, czy �rednie z nich obliczone reprezentuj� r�ne warto�ci w populacjach generalnych. Testu u�ywamy, je�li mo�na za�o�y�, �e badanie cechy maj� rozk�ad normalny, a wariancje s� r�wne, cho� nieznane. Do obliczenia warto�ci testu nale�y zna� liczebno�ci, �rednie arytmetyczne oraz odchylenia standardowe obu grup. Warto�� testu obliczamy ze wzoru:
t - xi x2
e ni . si + nz 25� C 1 1 1
~+ J~
gdzie: n,, nz - liczebno�ci grup
X,, Xz - �rednie arytmetyczne s;, s� - wariancje.
Otrzyman� bezwzgl�dn� warto�� t por�wnujemy z warto�ci� krytyczn� t� dla wybranego poziomu istotno�ci oraz liczby stopni swobody v = v, + vz - 2. Hipotez� o r�wno�ci �rednich odrzucamy, je�li ~ t ~ > t�. Mo�na w�wczas twierdzi�, �e w populacji generalnej �rednie b�d� si� r�ni� podobnie jak w pr�bach.
Test wymaga wst�pnego zweryfikowania hipotezy o r�wno�ci wariancji w obu populacjach, a spos�b jej przeprowadzenia podano w opisie testu dla dw�ch wariancji. Je�li oka�e si�, �e wariancje r�ni� si� istotnie, to do oceny r�nicy mo�na zastosowa� opisany dalej przybli�ony test C Cochrana i Coxa.
Test dla dw�ch wariancji
Dla sprawdzenia hipotezy o r�wno�ci wariancji obliczamy najpierw tzw. nie obci��ony estymator wariancji, kt�ry oznaczymy symbolem �z. Obci��enia pozbywamy si� za pomoc� wzoru:
n �=sz .
n-1'
gdzie sz jest wariancj� obliczan� w podany poprzednio spos�b z pr�bki licz�cej n element�w. Estymator ma liczb� stopni swobody v = n -1. Nast�pnie obliczamy wsp�czynnik Fo:
�W Fo = ~
Sm
364
gdzie �W jest estymatorem, maj�cym wi�ksz� warto��. __ - mniejsz�. Maj� one odpowiedni� liczb� stopni swobody v,~. i nm. Ze spo�obu ~~bliezania wynika, �e warto�� Fo nie mo�e by� mniejsza od jedno~i. Je�li prz~za�o�onym poziomie istotno�ci a obliczona warto�� F_ jeat wi~ksza od warto�ci krytycznej Fk, odczytanej z tablic rozk�adu F-Snedecora. to stwierdzamy, �e wariancje r�ni� si� istotnie. Za��czone na ko�cu rozdzia�u tablice podaj� warto�ci Fk tylko dla a=0,05, co na og� wystarcza. Spos�b przeprowadzenia oblicze� podano w za��czonych ni�ej przyk�adach. Przyklad. Nale�a�o stwierdzi�, czy istnieje r�nica w czasach reakcji na
bodziec �wietlny i akustyczny. Badanie czasu reakcji na bodziec �wietlny w grupie n, = 8 os�b da�o wyniki X, =187 ms (milisekund), s; = 818 ms. W badaniach reakcji na bodziec akustyczny w grupie nz = 6 os�b da�o Xz=227 ms, s?=656 ms. Sprawdzamy czy wariancje r�ni� si� istotnie. Obliczamy ich nie obci��one estymatory oraz wsp�czynnik Fo:
�;=8188-1=935 v1=8-1=7; ~=6566-1=787 v2=6-1=S;
935 Fo=-=1,188. 787
Wariancja wi�ksza ma liczb� stopni swobody vW=vt=7, mniejsza vm = vz = 5. W tablicy rozk�adu F-Snedecora (dla a = 0,05) na skrzy�owaniu wiersza vW=7 i kolumny vm=5 znajdujemy, �e Fk=4,88. Poniewa� Fo
187-227 t = -2,506.
8818+6656 1 1 8+6-2 C8+6~
Poniewa� warto�� bezwzgl�dna t jest wi�ksza od ta, stwierdzamy, �e �rednie
r�ni� si� istotnie-mo�emy spodziewa� si� �e przy szeroko przeprowadzonych ! badaniach r�wnie� otrzymamy mniejsze warto�ci dla czasu reakcji na bodziec
�wietlny. Ryzyko, �e wniosek jest b��dny, wynosi 0,05 - jest wi�c niewielkie. Mimo wszystko o mo�liwo�ci tej pomy�ki nale�y pami�ta�.
Przybli�ony test C Cochrana i Coxa
Test C stosujemy, gdy stwierdzamy, �e wariancje r�ni� si� istotnie. Ob- ~~'~"j`' liczamy warto�� Co wg wzoru:
X1 X2
Co= ~+~~
~6�
gdzie: Zl = ~ ; ZZ = ~; (nl i n2 - liczebno�ci pr�by, ~ i ~ - wariancje nie obci��one).
Nie obci��one esLymatory wariancji (�; i ��) maj� liczby stopni swobody v, =n, -1 oraz vz=nz-1. Warto�� Co por�wnujemy z warto�ci� krytyczn� Ck
wyliczon� ze wzoru:
C -Zl~ti+ZZy k Zl + Zz
We wzorze tym t, i tz oznaczaj� warto�ci krytyczne z rozk�adu t-Studenta dla wybranego poziomu istotno�ci oraz liczby stopni swobody v, dla t, i vz dla tz. Stwierdzamy, �e �rednie r�ni� si� istotnie, je�li obliczona bezwzgl�dna warto�� C� jest wi�ksza ni� Ck.
Przyklad. Badano wp�yw �rodowiska pracy na cz�sto�� t�tna. Przebadano losowo wybranych n, = 30 pracownik�w zatrudnionych w zak�adzie A. Obliczenia wykaza�y �redni� cz�sto�� t�tna i wariancj�: X, =67, s; =11. Podobne badania w zak�adzie B wykonane u nz =10 pracownik�w da�y: Xz = 72, s? = 25.
Sprawdzamy istotno�� r�nic wariancji:
s'~,=11~3�01=11,38 v1=30-1=29; ~=25~1~01=27,78 v2=10-1=9;
_ 27,78 - 2,44. F� 11,38
Warto�� krytyczna Fk dla vw.=vz=9 (wariancja wi�ksza) i vm=v,=29 (wariancja mniejsza) wynosi 2,22 (dla poziomu istotno�ci a=0,05). Obliczona warto�� Fo jest wi�ksza od warto�ci krytycznej, nie mo�emy zatem stosowa� testu t, dokonamy wi�c oceny testem C.
Obliczamy warto�ci Z~ oraz Zz, a nast�pnie C�:
Zl=138=0,379 Zz=2108 2,778 C� _ 67 - 72 __ - 5 _ 2,814.
0,379+2,778 3,157
Obliczamy nast�pnie warto�� krytyczn� Ck. Dla poziomu istotno�ci a=0,05 i 29 stopni swobody mamy t, = 2,045, dla 9 stopni swobody tz = 2,262. Tak wi�c:
_ 0,379 ~ 2,045+2,778 ~ 2,262 _ 7,059 _
W trosce o komfort korzystania z naszego serwisu chcemy dostarczać Ci coraz lepsze usługi. By móc to robić prosimy, abyś wyraził zgodę na dopasowanie treści marketingowych do Twoich zachowań w serwisie. Zgoda ta pozwoli nam częściowo finansować rozwój świadczonych usług.
Pamiętaj, że dbamy o Twoją prywatność. Nie zwiększamy zakresu naszych uprawnień bez Twojej zgody. Zadbamy również o bezpieczeństwo Twoich danych. Wyrażoną zgodę możesz cofnąć w każdej chwili.