Trzecie zagadnienie teorii potencjału ma szczególne zastosowanie w geodezji fizycznej, bowiem stanowi model wyznaczenia geoidy (undulacji geoidy) z anomalii grawimetrycznych. Z tego teŜ powodu trzecie zagadnienie zwane jest zagadnieniem brzegowym geodezji fizycznej.
Janusz Walo
29
Harmoniczne sferyczne (1)
(Równanie Laplace’a)
Równanie Laplace’a we współrzędnych prostokątnych ma postać:
2
2
2
∂ V
∂ V
∂ V
∆V =
+
+
= 0
2
2
2
∂x
∂y
∂z
Jest to jednorodne równanie róŜniczkowe drugiego rzędu, a funkcje spełniające to równanie to funkcje harmoniczne. Zapisując
równanie Laplace’a we współrzędnych sferycznych dostaniemy:
2
2
∂ V
∂V
∂ V
∂V
∂ V
2
1
2
r
+ 2r
+
+ ctgθ
+
= 0
2
2
∂r
∂r
∂θ
∂θ
sin 2
2
θ ∂λ
Przy czym kąt θ liczony jest od osi z (dopełnienie szerokości do 90 ̊ ) Janusz Walo
30
15
Harmoniczne sferyczne (2)
(Równanie Laplace’a)
W celu rozwiązania równania rozdzielamy zmienne r i (θ,λ) i wtedy potencjał V moŜna przedstawić w postaci:
V (r,θ , λ ) = f (r)⋅Y (θ , λ )
Co w rezultacie prowadzi do równania róŜniczkowego postaci:
2
∂
( )
∂ ( )
∂
∂
1
∂
2
f r
f r
Y
2
2
r
Y + 2r
Y = −
f (r)
Y
− ctgθ
f ( )
Y
r −
f (r)
r 2
∂
r
2
2
2
∂
θ
∂
θ
∂
sin θ
λ
∂
Obie strony równania będą równe wtedy, kiedy równe będą tej
samej wartości stałej.
Janusz Walo
31
Harmoniczne sferyczne (3)
(Równanie Laplace’a)
Dzieląc obie strony równania przez iloczyn f(r)Y(θ,λ) oraz
przyrównując je do stałej n(n+1) dostaniemy dwa równania
róŜniczkowe postaci:
2
r f (
′ r)+ 2r f (
′ r)− n(n + )
1 ⋅ f (r ) = 0
2
∂ Y
∂Y
1
2
∂ Y
+ ctgθ
+
+ n(n + )
1 ⋅Y (θ , λ ) = 0
2
∂θ
∂θ
sin 2
2
θ ∂λ
Pierwsze równanie to róŜniczkowe równanie Eulera, którego
rozwiązania szczególne to:
f (r ) = n
r
i
f (r )
−(n+ )
1
= r
Janusz Walo
32
16
Harmoniczne sferyczne (4)
(Równanie Laplace’a)
Oznaczając nieznane rozwiązanie drugiego równania przez Y (θ,λ) n
moŜna zapisać rozwiązanie równania Laplace’a w postaci:
n
V = r Y
i
V = r − + Y
n (θ , λ )
(n
)
1
n (θ , λ )
Funkcje takiej postaci nazywa się objętościowymi harmonicznymi sferycznymi, a funkcje postaci Y (
nazywa si powierzchniowymi
n θ,λ) nazywa się powierzchniowymi
funkcjami sferycznymi. Często skraca się nazwę do nazwy harmoniczne sferyczne lub funkcje kuliste.
Z rozwiązania pierwszego równania wynika ponadto, Ŝe parametr n musi być liczbą całkowitą (n=1,2,3,…).
Janusz Walo
33
Harmoniczne sferyczne (5)
(Równanie Laplace’a)
Z teorii liniowych równań róŜniczkowych wynika teŜ, Ŝe kombinacje liniowe rozwiązań teŜ mogą być rozwiązaniem równania, a więc:
∞
∞
V = ∑ n
r Y θ λ
i
V
r
Y θ λ
n (
, )
= ∑ −(n+ )1 n ( , )
n=0
n=0
Inaczej kaŜda funkcja harmoniczna moŜe być przedstawiona za pomocą sumy rozwiązań szczególnych.
Szczególne znaczenie w geodezji fizycznej mają powierzchniowe harmoniczne sferyczne!
Janusz Walo
34
17
Harmoniczne sferyczne (6)
(Równanie Laplace’a)
Przedstawiając powierzchniowe harmoniczne sferyczne jako iloczyn dwóch funkcji g=g(θ ) i h=h(λ) zmiennych niezaleŜnych θ i λ tzn.: Y (θ , λ ) = g(θ )⋅ h(λ ) = g ⋅ h
równanie:
2
∂ Y
∂Y
1
2
∂ Y
+ ctgθ
+
+ n(n + )
1 ⋅Y (θ , λ ) = 0
2
∂θ
∂θ
sin2
2
θ ∂λ
moŜna zapisać w postaci:
1
g ′ ⋅ h + ctgθ ⋅ g′ ⋅ h +
g ⋅ h ′ + n(n + )
1 ⋅ g ⋅ h = 0
sin 2 θ
Janusz Walo
35
Harmoniczne sferyczne (7)
(Równanie Laplace’a)
2
sin θ
MnoŜąc obie strony równania przez:
g ⋅ h
dostaniemy tzw. podstawowe równanie funkcji kulistych postaci: sinθ (
′
g ′ ⋅ sinθ + g′ ⋅ cosθ + n( + )
1 ⋅ sinθ )
h
n
= −
(*)
g
h
w którym „udało się” rozdzielić zmienne. Równanie to będzie spełnione, jeśli obie strony będą równe tej samej stałej m2. Dla prawej strony dostaniemy liniowe równanie róŜniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach:
h (
′ λ )
2
+ m h (
′ λ ) = 0
którego rozwiązania szczególne mają postać:
h(λ ) = cos λ
m
i
h(λ ) = sin λ
m
Janusz Walo
36
18
Harmoniczne sferyczne (8)
(Równanie róŜniczkowe Legendre’a)
Jeśli teraz lewą strona równania (*) przyrównamy do m2 i zrobimy pewne podstawienia tzn.:
g(θ ) = y(x),
cosθ = x,
sin 2 θ = 1
2
− x
2
dy
d y
dy
g′ = −
sin θ ,
g ′ =
sin 2 θ −
cosθ
2
dx
dx
dx