Nie ma jednak koniecznoÊci istnie-nie ma bowiem ograniczenia na to, jak daleko mogà si´gaç nia „zewn´trza”.
obserwacje. Nie podejmujàc podró˝y dooko∏a wszechÊwiata Do koƒca XIX wieku matematycy odkryli liczne przyk∏ady i ponownego napotkania tych samych obiektów, za∏oga stat-skoƒczonych przestrzeni pozbawionych brzegów. Niemiecki ku kosmicznego nie by∏aby w stanie stwierdziç, ˝e jest to to-astronom Karl Schwarzschild zwróci∏ na to uwagśwoim ko-rus [ ilustracja poni˝ej]. W trzech wymiarach zaczynamy od legom w 1900 roku. W pos∏owiu do artyku∏u w Vierteljahr-kostki szeÊciennej i sklejamy ze sobà przeciwleg∏e boki, uzy-schrift der astronomischen Gesellschaft rzuci∏ wyzwanie: skujàc 3-torus.
Euklidesowy 2-torus, pomijajàc lukier na powierzchni, jest
„Wyobraêcie sobie, ˝e w wyniku niezwykle g∏´bo-topologicznie równowa˝ny powierzchni obwarzanka. Nie-kich badaƒ astronomicznych okazuje si´, i˝ w ogrom-stety, euklidesowy torus zagina si´ jedynie w wyobraêni. Nie nych skalach ca∏y WszechÊwiat wype∏niony jest niezli-mo˝e sión zmieÊciç w naszej trójwymiarowej przestrzeni czonymi identycznymi kopiami naszej Drogi Mlecznej, euklidesowej. Obwarzanki mogà, poniewa˝ wygićie nada-
˝e nieskoƒczona przestrzeƒ mo˝e byç podzielona na
∏o im sferycznà geometrińa zewn´trznej cz´Êci powierzch-szeÊciany, z których ka˝dy zawiera kopińaszej Dro-ni, a hiperbolicznà na wewn´trznej. Bez tego zakrzywienia gi Mlecznej. Czy naprawdúpieralibyÊmy si´ wtedy nie da∏oby siích oglàdaç z zewnàtrz.
1
PRZESTRZE¡ W KSZTAÇIE OBWARZANKA, w∏aÊciwie bardziej znana jako euklidesowy 2-torus, jest p∏askim kwadratem, którego przeciwleg∏e boki sà po∏àczone (1). Wszystko, co przekracza któràÊ z kraw´dzi, wy∏ania si´ ponownie z przeciwnej kraw´dzi. Choç taka powierzchnia nie mo-
˝e istnieç wewnàtrz naszej trójwymiarowej przestrzeni, odkszta∏conà jej wersjúzyskamy, skleja-jàc razem górí dó∏ (2) i wyginajàc powsta∏y w ten sposób cylinder w pierÊcieƒ (3). Obserwatorom z galaktyki przedstawionej kolorem czerwonym przestrzeƒ wyda sińieskoƒczona, poniewa˝ li-nia, wzd∏u˝ której patrzà, nigdy sińie koƒczy (poni˝ej). Âwiat∏o wys∏ane z ˝ó∏tej galaktyki mo˝e do nich dotrzeç wieloma ró˝nymi drogami, dlatego zobaczà wićej ni˝ jeden jej obraz. Euklidesowy 3-torus powstaje z szeÊcianu, a nie z prostokàta.
2
3
BRYAN CHRISTIE
Kiedy Albert Einstein opublikowa∏ w 1917 roku pierwszy przeciwleg∏ych boków oÊmiokàta musi byç hiperboliczny.
relatywistyczny model wszechÊwiata, na globalny kszta∏t wy-Topologia dyktuje geometri´.
bra∏ hipersferŔiemanna. W owym czasie topologia prze-Rozmiar wieloboku lub wieloÊcianu jest mierzony w stosun-strzeni by∏a goràcym tematem. Rosyjski matematyk Aleksan-ku do jedynej istotnej skali w przestrzeni: promienia krzywi-der Friedmann szybko uogólni∏ model Einsteina. Modele zny. Sfera na przyk∏ad mo˝e mieç dowolne rozmiary fizycz-Friedmanna dopuszcza∏y ekspansj´ wszechÊwiata i przestrzeƒ
ne (powiedzmy w metrach), ale jej powierzchnia zawsze hiperbolicznà. Jego równania sà nadal rutynowo stosowane wyniesie 4π razy kwadrat jej promienia, czyli 4π radiany kwa-przez kosmologów. Friedmann podkreÊla∏, ˝e jego równania dratowe. Ta sama zasada odnosi si´ do topologii hiperbolicz-modelu hiperbolicznego odnoszà siźarówno do skoƒczonej, dla której równie˝ da siźdefiniowaç promieƒ krzywizny.
nych, jak i do nieskoƒczonych wszechÊwiatów. Jest to uwaga Najbardziej zwarta topologia hiperboliczna, odkryta przez tym bardziej zdumiewajàca, ˝e w owym czasie nie znano jednego z nas (Weeksa) w 1985 roku, mo˝e byç zbudowana skoƒczonych przestrzeni hiperbolicznych.
poprzez uto˝samienie par Êcian osiemnastoÊcianu. Jej obj´-
toÊç wynosi oko∏o 0.94 radiana szeÊciennego. Inne topologie OÊmiorako
powstajà z wieloÊcianów o wi´kszej liczbie Êcian.
WszechÊwiat mo˝na równie˝ mierzyç w radianach. Wyni-Ze wszystkich zagadnieƒ kosmicznej topologii zapewne ki ró˝norodnych obserwacji astronomicznych zgodnie wska-najtrudniej wyobraziç sobie, w jaki sposób przestrzeƒ hiper-zujà, ˝e Êrednia gśtoÊç materii we WszechÊwiecie stanowi boliczna mo˝e byç skoƒczona. Dla uproszczenia rozwa˝my zaledwie jednà trzecià tego, co potrzebne, by przestrzeƒ by-najpierw dwuwymiarowy wszechÊwiat. Post´pujmy podob-
W trosce o komfort korzystania z naszego serwisu chcemy dostarczaÄÂâÂÄ Ci coraz lepsze usÄ âÂÂugi. By mÄÂĂĹc to robiÄÂâÂÄ prosimy, abyÄ âÂĹ wyraziÄ â zgodÄÂâÂË na dopasowanie treÄ âÂĹci marketingowych do Twoich zachowaÄ â w serwisie. Zgoda ta pozwoli nam czÄÂâÂËÄ âÂĹciowo finansowaÄÂâÂÄ rozwÄÂĂĹj Ä âÂĹwiadczonych usÄ âÂÂug.
PamiÄÂâÂËtaj, Ä ĂĹşe dbamy o TwojÄÂâÂĹ prywatnoÄ âÂĹÄÂâÂÄ. Nie zwiÄÂâÂËkszamy zakresu naszych uprawnieÄ â bez Twojej zgody. Zadbamy rÄÂĂĹwnieÄ ĂĹş o bezpieczeÄ âÂÂstwo Twoich danych. WyraÄ ĂĹşonÄÂâÂĹ zgodÄÂâÂË moÄ ĂĹşesz cofnÄÂâÂĹÄÂâÂÄ w kaÄ ĂĹşdej chwili.